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學部第一次期中考即將來臨，老師們簡直把這次期中考當成了中考。
第一、二節是數學，老師二話不說，直接發下一張數學卷子：
高二數學上冊期中考試
時間：120分鐘，滿分：100分
一、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分）
1. 已知函式 $f(x)$ 的導數為 $f'(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$，則 $f(x) = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
2. 已知數列 $\\{a_n\\}$ 的通項公式為 $a_n = 3n^2 - 5n + 2$，則 $a_5 = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
3. 已知 $\\triangle ABC$ 中，$AB = 4$，$AC = 5$，$\\angle BAC = 60^\\circ$，則 $\\sin B = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
4. 設向量 $\\vec{a} = (2, 1)$，$\\vec{b} = (-1, 3)$，則 $\\vec{a} + \\vec{b} = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
5. 已知二次函式 $y = ax^2 + bx + c$ 的影象經過點 $(1, 2)$，$(2, 1)$，$(3, 2)$，則 $a = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
6. 設 $A$，$B$，$C$ 三個事件之間的關係為 $P(A) = $，$P(B) = $，$P(C) = $，$P(A\\cap B) = $，$P(B\\cap C) = $，則 $P(A\\cup B\\cup C) = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
7. 已知函式 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2$，則 $f(x) ＞ 0$ 的解集為 $(\\_\\_\\_\\_\\_\\_ , \\_\\_\\_\\_\\_\\_)$。
8. 若數列 $\\{a_n\\}$ 滿足 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$，則 $a_6 = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
9. 設 $\\vec{a} = (3, -4)$，則 $\\left|\\vec{a}\\right| = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
10. 已知 $\\tan\\alpha = 2$，$\\cot\\beta = 3$，則 $\\sin(\\alpha + \\beta) = $\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_\\_。
二、單選題（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 在三角函式 $\\sin\\theta$ 的影象中，下列說法不正確的是：
A. 呈現正弦曲線
B. 呈現沿 $x$ 軸振盪，取值在 $[-1, 1]$ 之間
C. 呈現在 $x$ 軸上取到最小值和最大值
D. 函式為奇函式
2. 下列關於數列 $\\{a_n\\}$ 若干項的和的說法中，不正確的是：
A. $S_1 = a_1$
B. $S_n = \\dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$
C. $S_n = n^2 a_n$
D. $\\{a_n\\}$ 為等差數列，則 $S_n = \\dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$
3. 已知 $y = 2^x$，則 $y = 8$ 的解為：
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
4. 直線 $2x - y + 1 = 0$ 與圓 $x^24}{5}, \\dfrac{3}{5})$ 和 $(\\dfrac{-4}{5}, -\\dfrac{3}{5})$
B. $(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{4}{5})$ 和 $(-\\dfrac{3}{5}, -\\dfrac{4}{5})$
C. $(\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{3}{5})$ 和 $(-\\dfrac{4}{5}, -\\dfrac{3}{5})$
D. $(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{3}{5})$ 和 $(-\\dfrac{3}{5}, -\\dfrac{3}{5})$
5. 細胞數量的模型是 $N = N_0b^{\\frac{t}{k}}$，其中 $N_0$ 表示初始數量，$b$ 表示增長率，$t$ 表示時間，$k$ 表示一個常數，則當 $t = 21$ 時，已知 $N_0 = 100$，$N = 800$，$k = 3$，求增長率 $b$。
A. $2$
B. $4$
C. $8$
D. $16$
6. 若 $\\vec{a} = (-3, k)$，$\\vec{b} = (4, 2)$，$\\vec{a}\\perp\\vec{b}$，則 $k$ 的值為：
A. $-8$
B. $-7$
C. $-6$
D. $-5$
7. 二次函式 $y = ax^2 + bx + c$ 已知經過點 $(1, -1)$ 和 $(4, 3)$，頂點座標為 $(2, 2)$，求 $a$，$b$，$c$ 的值。
A. $a = \\dfrac{1}{3}, b = \\dfrac{8}{3}, c = \\dfrac{4}{3}$
B. $a = \\dfrac{1}{3}, b = \\dfrac{2}{3}, c = -\\dfrac{4}{3}$
C. $a = -\\dfrac{1}{3}, b = \\dfrac{8}{3}, c = \\dfrac{4}{3}$
D. $a = -\\dfrac{1}{3}, b = \\dfrac{2}{3}, c = -\\dfrac{4}{3}$
8. 已知事件 $A$，$B$，$C$ 滿足 $P(A) = \\dfrac{3}{5}$，$P(B) = \\dfrac{2}{5}$，$P(C|A) = \\dfrac{1}{3}$，$P(C|B) = \\dfrac{1}{4}$，則 $P(C) =$
A. $\\dfrac{5}{24}$
B. $\\dfrac{3}{20}$
C. $\\dfrac{7}{60}$
D. $\\dfrac{13}{60}$
9. 已知矩形 $ABCD$ 上邊界的函式為 $y = f(x) = 3 - \\dfrac{2}{5}x$，下邊界的函式為 $y = g(x) = 1 + 2\\sin\\dfrac{\\pi x}{3}$，則矩形的面積最大為：
A. $\\dfrac{36}{5}$
B. $\\dfrac{36}{\\sqrt{29}}$
C. $\\dfrac{36}{\\sqrt{10}}$
D. $\\dfrac{18}{\\sqrt{5}}$
10. 已知平面向量 $\\vec{a} = (2, 1)$，$\\vec{b} = (1, -2)$，則 $3\\vec{a} - 5\\vec{b}$ 的模長為：
A. $2\\sqrt{15}$
B. $\\sqrt{15}$
C. $4\\sqrt{15}$
D. $5\\sqrt{15}$
三、計算題（本題共5小題，每小題10分，共50分）
1. 已知 $y = 3x^2 - 4x - 2$，求：
(1) 函式 $y$ 的導函式 $y'$；
(2）f(x) 在 �=1x=1 和 �=3x=3 處的取值和
四、解答題（本題共4小題，共100分）
1. （25分）在平面內，有 $3$ 條圍成面積為 $S$ 的小區域的圓弧，其圓心分別為 $A$，$B$，$C$，如圖所示，$AB = 1$，$AC = BC = \\sqrt{2}$，求小區域的面積 $S$。
2. （25分）已知平面向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 滿足 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$，$\\vec{a} \eq \\vec{0}$，$\\vec{b}\eq\\vec{0}$，證明：$\\lVert\\vec{a}+\\vec{b}\\rVert^2 = \\lVert \\vec{a}\\rVert ^2 + \\lVert\\vec{b}\\rVert ^2$。
3. （25分）已知函式 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上單調遞增，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上單調遞減，且 $f(a) = g(a)$，$f(b) = g(b)$，證明：對於任意 $x\\in[a, b]$，都有 $f(x)\\geq g(x)$。
4. （25分）已知證券市場 A 和 B 投資組合的預期收益和風險如下表：
| 投資組合 | 預期收益率（%） | 風險（%） |
| -------- | -------------- | --------- |
| A | 12 | 6 |
| B | 10 | 4 |
現在需要構造一個新的投資組合，使得預期收益率不低於 $11\\%$，並且風險不高於 $5\\%$。試回答以下兩個問題：
（1）如果要求新投資組合的風險最小，該如何分配資金？
（2）如果要求新投資組合的預期收益最大，該如何分配資金？